I och med att du löptränar etc. så har du redan goda förutsättningar. Och det är heller inte enbart benen som du tränar med löpningen. Men, jag tror absolut att styrketräning av mage och rygg skulle kunna vara lösningen på det problem som du upplever. För precis som du säger så kommer sådan träning att ge dig en bättre hållning och stabilitet. Du nämner också att du ofta bär fel. Det kan definitivt vara en bidragande orsak till dina ryggproblem. Man bör alltid försöka uppnå jämvikt. Det gäller såväl när man bär hem matkassar från ICA som böcker från skolan. Bär därför hellre två kassar istället för en och använd gärna ryggsäck som "hjälpmedel". När det gäller övningar så är det lite svårt att säga. Allra helst eftersom du redan har ont. Tala därför med någon kunnig inom området som kan hjälpa dig att utforma ett program. Du kan ju alltid börja med skolsköterskan. Sedan kanske du behöver ytterligare hjälp av exempelvis en PT eller en sjukgymnast. Rent generellt är dock en övning som "plankan" väldigt bra. Ramlade förresten på en artikel med olika varianter av just "plankan" idag: http://www.aftonbladet.se/wellness/article16246685.ab
Kolla också: http://www.styrkeprogrammet.se/ och http://www.1177.se/Tema/Liv-och-halsa/Ma-bra-i-vardagen/Ergonomi/ för kompletterande kunskap och information.