Hej, jag har en uppgift i förändringshastighet som jag inte förstår riktigt
Lisa har en klotformad ballong som läker pågrund av ett läckage. Ballongens volym minstar med -20cm^3/s när ballonges radie är 8cm. Hur snabbt minskar radien i samma ögonblick?
dV/dt (volymen beroende på tid) är ju då alltså -20cm^3, och jag vill ha reda på (radie beroende på tid) dr/dt, i guess?
då om jag stället upp det blir det ju dr/dt = dr/dV * dV/dt? eller? För i sånna fall, hur beräknar man dr/dV?
Varför ska hon heta just Lisa?
Ställ upp sambandet mellan ett klots radie och dess volym, och lös ut.
grömätikän
Uppgift
Ursäkt
Förlåt mig så mycket för att jag inte hinner förklara uppgiften i ord! 
Enheter
cm, cm², cm³, s, etc
Lösning
r=r(r)=r(t)=r(V)=r(V(r))=r(V(t))
V=V(r)=V(t)=4πr³/3
dr/dt=dr/dV×dV/dt
dV/dr=d(4πr³/3)/dr=4π/3×d(r³)/dr=4π/3×3r^(3-1)=4πr²=A=A(r)
dr/dr=dr/dV×dV/dr=1
dr/dV=1/(dV/dr)=1/(4πr²)=1/A=1/A(r)
dr/dV[r=8]=1/(4π×8²)=1/(4π×64)=1/(4×64π)=1/(256π)≈1/(256×3,14)≈0,0012
dV/dt[r=8]=-20
dr/dt[r=8]=dr/dV[r=8]×dV/dt[r=8]=1/(256π)×(-20)=-20/(256π)=-2²×5/(2^8×π)=-5/(2^(8-2)×π)=-5/(2^6×π)=-5/(64π)≈-5/(64×3,14)≈-0,025
dr/dt[r=8 cm]≈-0,025 cm/s=-0,025×10 mm/s=-0,25 mm/s=(-0,025/100) m/s=-0,00025 m/s
|dr/dt[r=8 cm]|≈|-0,025| cm/s=0,025 cm/s=|-0,25| mm/s=0,25 mm/s=|-0,00025| m/s=0,00025 m/s
Svar
När ballongens radie är 8 cm så minskar radien med ungefär 0,025 cm/s.
Länkar
http://sv.wikipedia.org/wiki/Derivata
http://sv.wikipedia.org/wiki/Invers_funktion
http://sv.wikipedia.org/wiki/Kedjeregeln
http://sv.wikipedia.org/wiki/Sammansatt_funktion
http://sv.wikipedia.org/wiki/Sf%C3%A4r
