Blivande_japan:

el den ena kanske, aja thnx iaf

Båda de du frågade efter i första inlägget iaf.

PROBLEM 4
(el ngt)

Best¨am alla lokala extrempunkter och alla eventuella asymptoter, skissa
kurvan y = g(t) och best¨am v¨ardem¨angden till funktionen g om:

B. g(t) = ln(1 + t^2) − arctan t

jag har deriverat, jag har hittat lokala extrempunkter osv

det som behövs är att hitta asymptoter (dock funderar vi på att ingen finns)
vet att man ska låta t gå mot oändligheten och se vad det blir osv, men vi kom fram till att det kanske finns en sned asymptot fast.. vi vet som sagt ej
vi behöver också skissa grafjäveln. och kom ej och säg

"ah det är jättelätt det kan jag göra i min grafritande miniräknare blabla"

för det kan jag också, men vi får inte använda grafräknare (el andra räknare) så fuck you!

+kmr ej ihåg vad fan värdemängd var

Blivande_japan:

+kmr ej ihåg vad fan värdemängd var

Värdemängden är de värden som en funktion eller avbildning kan anta. Tänk dig funktioner som något som avbildar en delmängd av R på en annan delmängd av R, dvs f: D1 -> D2. Då är D1 definitionsmängd och D2 värdemängd.

Blivande_japan:

B. g(t) = ln(1 + t^2) − arctan t

Då t -> +- inf, kommer arctan t gå mot +- pi/2, alltså är den delen av funktionen onödig när du ska hitta eventuella sneda asymptoter.

Om du bara kollar på ln(1+t²), så ser du att för stora t² gäller att ln(1+t²) ~ ln(t²) = 2ln(|t|), alltså växer funktionen som en logaritm, och då finns det inga sneda asymptoter.

Sneda asymptoter får man oftast då man har rationella funktioner, vars täljare är en grad högre än nämnare, t.ex. f = (t^3-t+1)/(2t^2-9t), vilket för stora t är f ~ t/2 + C, dvs den har en sned asymptot t/2 + C. Detta finner man t.ex. genom polynomdivision.

Den här sidan är bra för att finna asymptoter och sånt http://www.wolframalpha.com/

PROBLEM NR 5 OSV

Hur kan du veta att ekvationen x^5 − 6x + 1 = 0 har exakt en lösning x i
intervallet [−1, 1] ?

NR6

Förklara hur formeln xn = x(n−1)−(f(x(n−1)) / (f0(x(n−1))))
hänger ihop med idén bakom
Newton-Raphsons metod, som kan sammanfattas: linjär approximation!

NR 7

Låt h(x) = (x^2 − 1)e^(2x−4).
A. Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y = h(x) i den punkt på
kurvan som har x-koordinat 2.

B. Använd svaret på uppgift A ovan för att beräkna en approximation av
funktionsvärdet h(2.1).

NR 8

Låt f(x) = x ln x. Svara på följande frågor (motivering krävs):
Vad är definitionsmängden för f? Är f begränsad? är f strängt växande?
Finns det något intervall där f är strängt avtagande? är f inverterbar? är
det sant att f(x) > −1/3 för alla positiva tal x ?

HobGoblin:

D

thnx!

Blivande_japan:

PROBLEM NR 5 OSV

bättre om du lär dig hur det funkar innan du går vidare med problemen. men men du är välkommen till mattestugan också närhelst du vill. lycka till!

flickansvekmigikväll:

bättre om du lär dig hur det funkar innan du går vidare med problemen

Blivande_japan:

vet själv hur det är när man bara fattar något matematiskt till typ ..inte 100%. då fastnar man på flera tal .. om man ser till att man verkligen förstår bra hur det funkar så blir det mycket lättare.

flickansvekmigikväll:

vet själv hur det är när man bara fattar något matematiskt till typ ..inte 100%. då fastnar man på flera tal .. om man ser till att man verkligen förstår bra hur det funkar så blir det mycket lättare.

alla de där talen bygger inte på varandra, och om jag får hjälp med dem är det desto större chans att jag kmr förstå dem.

Blivande_japan:

alla de där talen bygger inte på varandra, och om jag får hjälp med dem är det desto större chans att jag kmr förstå dem.

några, men skitsamma du pluggar som du vill

Blivande_japan:

Uppgift 5

x^5-6x+1 = 0
-1 ≤ x ≤ 1

Lösning

f(x) = x^5-6x+1

f(x) = x^5-6x+1
f(x) polynomfunktion

f(x) polynomfunktion
f(x) kontinuerlig för alla reella x

f(x) kontinuerlig för alla reella x
-1 ≤ x ≤ 1
f(x) kontinuerlig i -1 ≤ x ≤ 1

f(x) polynomfunktion
f(x) deriverbar oändligt många gånger för alla reella x

f(x) deriverbar oändligt många gånger för alla reella x
-1 ≤ x ≤ 1
f(x) deriverbar oändligt många gånger i -1 ≤ x ≤ 1

f(x) deriverbar oändligt många gånger i -1 ≤ x ≤ 1
f(x) deriverbar i -1 ≤ x ≤ 1

-1 ≤ x ≤ 1 begränsat intervall

-1 ≤ x ≤ 1 slutet intervall

-1 ≤ x ≤ 1
-1 < 1

-1 < 1
-1 ≠ 1

f(x) = x^5-6x+1
-1 ≤ x
f(-1) = (-1)^5-6*(-1)+1

f(-1) = (-1)^5-6*(-1)+1
f(-1) = -1+6+1
f(-1) = 6

f(-1) = 6
0 < 6
0 < f(-1)

f(x) = x^5-6x+1
x ≤ 1
f(1) = 1^5-6*1+1

f(1) = 1^5-6*1+1
f(1) = 1-6+1
f(1) = -4

f(1) = -4
-4 < 0
f(1) < 0

f(-1) = 6
f(1) = -4
-4 < 6
f(1) < f(-1)

f(1) < f(-1)
f(-1) ≠ f(1)

-4 < 0
0 < 6
-4 < 0 < 6

f(-1) = 6
f(1) = -4
-4 < 0 < 6
f(1) < 0 < f(-1)

f(x) kontinuerlig i -1 ≤ x ≤ 1
-1 ≤ x ≤ 1 begränsat intervall
-1 ≤ x ≤ 1 slutet intervall
-1 ≠ 1
f(-1) ≠ f(1)
f(1) < 0 < f(-1)
Bolzanos sats
f(x) = 0 för minst ett x i -1 ≤ x ≤ 1

f(x) = x^5-6x+1
f(x) deriverbar i -1 ≤ x ≤ 1
f'(x) = 5x^4-6+0

f'(x) = 5x^4-6+0
f'(x) = 5x^4-6

f'(x) = 0
f'(x) = 5x^4-6
0 = 5x^4-6

0 = 5x^4-6
0+6 = 5x^4
6 = 5x^4
6/5 = x^4
±(6/5)^(1/4) = x
x = ±(6/5)^(1/4)

f'(x) = 0
x = ±(6/5)^(1/4)
f'(±(6/5)^(1/4)) = 0

0 < 1
0 < 4
0/4 < 1/4
0 < 1/4

x strängt växande för alla reella x
0 < 1/4
x^(1/4) strängt växande för alla reella x

5 < 6
0 < 5
5/5 < 6/5
1 < 6/5
x^(1/4) strängt växande för alla reella x
1^(1/4) < (6/5)^(1/4)
1 < (6/5)^(1/4)

x strängt växande för alla reella x
-x strängt avtagande för alla reella x

1 < (6/5)^(1/4)
-x strängt avtagande för alla reella x
-(6/5)^(1/4) < -1

Fall 1
x < -(6/5)^(1/4)

6 < 80
0 < 5
6/5 < 80/5
6/5 < 16
6/5 < 2^4
x^(1/4) strängt växande för alla reella x
(6/5)^(1/4) < (2^4)^(1/4)
(6/5)^(1/4) < 2^(4*1/4)
(6/5)^(1/4) < 2¹
(6/5)^(1/4) < 2

(6/5)^(1/4) < 2
-x strängt avtagande för alla reella x
-2 < -(6/5)^(1/4)

x < -(6/5)^(1/4)
-2 < -(6/5)^(1/4)
x = -2

f'(x) = 5x^4-6
x = -2
f'(-2) = 5*(-2)^4-6

f'(-2) = 5*(-2)^4-6
f'(-2) = 5*2^4-6
f'(-2) = 5*16-6
f'(-2) = 80-6
f'(-2) = 74

f'(-2) = 74
0 < 74
0 < f'(-2)

x < -(6/5)^(1/4)
-2 < -(6/5)^(1/4)
0 < f'(-2)
0 < f'(x) i x < -(6/5)^(1/4)

Fall 2
-(6/5)^(1/4) < x < (6/5)^(1/4)

0 < 6
0 < 5
0/5 < 6/5
0 < 6/5
x^(1/4) strängt växande för alla reella x
0 < (6/5)^(1/4)

0 < (6/5)^(1/4)
-x strängt avtagande för alla reella x
-(6/5)^(1/4) < -0
-(6/5)^(1/4) < 0

-(6/5)^(1/4) < 0
0 < (6/5)^(1/4)
-(6/5)^(1/4) < 0 < (6/5)^(1/4)

-(6/5)^(1/4) < x < (6/5)^(1/4)
-(6/5)^(1/4) < 0 < (6/5)^(1/4)
x = 0

f'(x) = 5x^4-6
x = 0
f'(0) = 5*0^4-6

f'(0) = 5*0^4-6
f'(0) = 5*0-6
f'(0) = 0-6
f'(0) = -6

f'(0) = -6
-6 < 0
f'(0) < 0

-(6/5)^(1/4) < x < (6/5)^(1/4)
-(6/5)^(1/4) < 0 < (6/5)^(1/4)
f'(0) < 0
f'(x) < 0 i -(6/5)^(1/4) < x < (6/5)^(1/4)

Fall 3
(6/5)^(1/4) < x

(6/5)^(1/4) < 2

(6/5)^(1/4) < x
(6/5)^(1/4) < 2
x = 2

f'(x) = 5x^4-6
x = 2
f'(2) = 5*2^4-6
f'(2) = 5*16-6
f'(2) = 80-6
f'(2) = 74

f'(2) = 74
0 < 74
0 < f'(2)

(6/5)^(1/4) < x
(6/5)^(1/4) < 2
0 < f'(2)
0 < f'(x) i (6/5)^(1/4) < x

f'(x) < 0 i -(6/5)^(1/4) < x < (6/5)^(1/4)
f(x) strängt avtagande i -(6/5)^(1/4) < x < (6/5)^(1/4)

f(x) strängt avtagande i -(6/5)^(1/4) < x < (6/5)^(1/4)
f(x) strängt monoton i -(6/5)^(1/4) < x < (6/5)^(1/4)

f(x) strängt monoton i -(6/5)^(1/4) < x < (6/5)^(1/4)
f(x) strängt monoton i -1 ≤ x ≤ 1

f(x) = 0 för minst ett x i -1 ≤ x ≤ 1
f(x) strängt monoton i -1 ≤ x ≤ 1
f(x) = 0 för precis ett x i -1 ≤ x ≤ 1

f(x) = 0 för precis ett x i -1 ≤ x ≤ 1

Resultat

f(x) = 0 för precis ett x i -1 ≤ x ≤ 1

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E5-6x%2B1

Uppgift 6

Lösning

Newton-Raphsons metod är en iterativ metod för numerisk beräkning av rötter till ekvationer.

Metoden bygger på att en tangent till en funktion i en punkt utgör en linjär approximation av funktionen i en omgivning till punkten, och att ett extrapolerat nollställe längs tangenten därför även utgör en linjär approximation av ett nollställe för funktionen.

Metodens formel utgår från ett startvärde och itererar därefter fram nya approximativa värden ur de närmast föregående genom att ansätta dessa som nya tangeringspunkter, och vid gynnsamma förutsättningar konvergerar därvid följden av approximativa värden hastigt mot det verkliga funktionsvärdet.

http://sv.wikipedia.org/wiki/Newtons_metod

Uppgift 7

h(x) = (x²-1)e^(2x-4)
x = 2

Deluppgift A

Lösning

h(x) = (x²-1)e^(2x-4)
h(x) = (x²-1)e^(2(x-2))

x²-1 polynomfunktion
x²-1 kontinuerlig för alla reella x

2(x-2) polynomfunktion
2(x-2) kontinuerlig för alla reella x

e^x exponentialfunktion
e^x kontinuerlig för alla reella x

x²-1 kontinuerlig för alla reella x
2(x-2) kontinuerlig för alla reella x
e^x kontinuerlig för alla reella x
(x²-1)e^(2(x-2)) kontinuerlig för alla reella x

(x²-1)e^(2(x-2)) kontinuerlig för alla reella x
h(x) = (x²-1)e^(2(x-2))
h(x) kontinuerlig för alla reella x

x²-1 polynomfunktion
x²-1 deriverbar oändligt många gånger för alla reella x

2(x-2) polynomfunktion
2(x-2) deriverbar oändligt många gånger för alla reella x

e^x exponentialfunktion
e^x deriverbar oändligt många gånger för alla reella x

x²-1 deriverbar oändligt många gånger för alla reella x
2(x-2) deriverbar oändligt många gånger för alla reella x
e^x deriverbar oändligt många gånger för alla reella x
(x²-1)e^(2(x-2)) deriverbar oändligt många gånger för alla reella x

(x²-1)e^(2(x-2)) deriverbar oändligt många gånger för alla reella x
h(x) = (x²-1)e^(2(x-2))
h(x) deriverbar oändligt många gånger för alla reella x

h(x) deriverbar oändligt många gånger för alla reella x
h(x) deriverbar för alla reella x

h(x) = (x²-1)e^(2(x-2))
x = 2
h(2) = (2²-1)e^(2(2-2))

h(2) = (2²-1)e^(2(2-2))
h(2) = (4-1)e^(2*0)
h(2) = 3(e°)
h(2) = 3*1
h(2) = 3

h(x) = (x²-1)e^(2(x-2))
h(x) deriverbar för alla reella x
h'(x) = (x²-1)'e^(2(x-2))+(x²-1)(e^(2(x-2)))'

h'(x) = (x²-1)'e^(2(x-2))+(x²-1)(e^(2(x-2)))'
h'(x) = (2x-0)e^(2(x-2))+(x²-1)e^(2(x-2))(2(x-2))'
h'(x) = 2x(e^(2(x-2)))+(x²-1)e^(2(x-2))2(x-2)'
h'(x) = 2x(e^(2(x-2)))+2(x²-1)e^(2(x-2))(1-0)
h'(x) = 2x(e^(2(x-2)))+2(x²-1)e^(2(x-2))1
h'(x) = 2x(e^(2(x-2)))+2*1(x²-1)e^(2(x-2))
h'(x) = 2x(e^(2(x-2)))+2(x²-1)e^(2(x-2))
h'(x) = 2(x+x²-1)e^(2(x-2))
h'(x) = 2(x²+x-1)e^(2(x-2))

h'(x) = 2(x²+x-1)e^(2(x-2))
x = 2
h'(2) = 2(2²+2-1)e^(2(2-2))

h'(2) = 2(2²+2-1)e^(2(2-2))
h'(2) = 2(4+2-1)e^(2*0)
h'(2) = 2*5(e°)
h'(2) = 10*1
h'(2) = 10

(y(x)-h(2))/(x-2) = h'(2)
h(2) = 3
h'(2) = 10
(y(x)-3)/(x-2) = 10

(y(x)-3)/(x-2) = 10
y(x)-3 = 10(x-2)
y(x) = 10x-10*2+3
y(x) = 10x-20+3
y(x) = 10x-17

y(x) = 10x-17

Resultat

y(x) = 10x-17

Deluppgift B

h(x) = (x²-1)e^(2(x-2))
y(x) = 10x-17
x = 2.1

Lösning

h(x) = (x²-1)e^(2(x-2))
x = 2.1
h(2.1) = (2.1²-1)e^(2(2.1-2))

h(2.1) = (2.1²-1)e^(2(2.1-2))
h(2.1) = (4.41-1)e^(2*0.1)
h(2.1) = 3.41(e^0.2)

h(2.1) = 3.41(e^0.2)
h(2.1) ≈ 4,2

h(2.1) ≈ 4,2

y(x) = 10x-17
x = 2.1
y(2.1) = 10*2.1-17

y(2.1) = 10*2.1-17
y(2.1) = 21-17
y(2.1) = 4

y(2.1) = 4

Resultat

h(2.1) ≈ 4,2
y(2.1) = 4

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%C2%B2-1%29e%5E%282x-4%29

Uppgift 8

f(x) = x(ln(x))

Lösning

f(x) = x(ln(x))

Alla reella x definitionsmängd för x
0 < x definitionsmängd för ln(x)
0 < x definitionsmängd för x(ln(x))

0 < x definitionsmängd för x(ln(x))
f(x) = x(ln(x))
0 < x definitionsmängd för f(x)

0 < x definitionsmängd för f(x)

x kontinuerlig för alla reella x
x kontinuerlig i 0 < x

x kontinuerlig i 0 < x
ln(x) kontinuerlig i 0 < x
x(ln(x)) kontinuerlig i 0 < x

x(ln(x)) kontinuerlig i 0 < x
f(x) = x(ln(x))
f(x) kontinuerlig i 0 < x

x deriverbar oändligt många gånger för alla reella x
x deriverbar oändligt många gånger i 0 < x

x deriverbar oändligt många gånger i 0 < x
ln(x) deriverbar oändligt många gånger i 0 < x
x(ln(x)) deriverbar oändligt många gånger i 0 < x

x(ln(x)) deriverbar oändligt många gånger i 0 < x
f(x) = x(ln(x))
f(x) deriverbar oändligt många gånger i 0 < x

f(x) deriverbar oändligt många gånger i 0 < x
f(x) deriverbar i 0 < x

x strängt växande för alla reella x
lim[x→∞](x) = ∞

ln(x) strängt växande i 0 < x
lim[x→∞](ln(x)) = ∞

lim[x→∞](x) = ∞
lim[x→∞](ln(x)) = ∞
lim[x→∞](x(ln(x))) = ∞

lim[x→∞](x(ln(x))) = ∞
f(x) = x(ln(x))
lim[x→∞](f(x)) = ∞

lim[x→∞](f(x)) = ∞
f(x) obegränsad

f(x) obegränsad

f(x) = x(ln(x))
f(x) deriverbar i 0 < x
f'(x) = (x)'ln(x)+x(ln(x))'

f'(x) = (x)'ln(x)+x(ln(x))'
f'(x) = 1(ln(x))+x(1/x)
f'(x) = ln(x)+x/x
f'(x) = ln(x)+1

f'(x) = 0
f'(x) = ln(x)+1
0 = ln(x)+1

0 = ln(x)+1
0-1 = ln(x)
-1 = ln(x)
e^(-1) = e^ln(x)
1/e = x
x = 1/e

f'(x) = 0
x = 1/e
f'(1/e) = 0

f(x) = x(ln(x))
x = 1/e
f(1/e) = (1/e)(ln(1/e))

f(1/e) = (1/e)(ln(1/e))
f(1/e) = (1/e)(ln(1)-ln(e))
f(1/e) = (1/e)(0-1)
f(1/e) = (1/e)(-1)
f(1/e) = -1/e

2 < e < 3
1/x strängt avtagande i x ≠ 0
1/3 < 1/e < 1/2

2 < e < 3
ln(x) strängt växande i 0 < x
ln(2) < ln(e) < ln(3)
ln(2) < 1 < ln(3)

Fall 1
x < 1/e

x < 1/e
1/3 < 1/e
x = 1/3

f'(x) = ln(x)+1
x = 1/3
f'(1/3) = ln(1/3)+1

f'(1/3) = ln(1/3)+1
f'(1/3) = ln(1)-ln(3)+1
f'(1/3) = 0-ln(3)+1
f'(1/3) = -ln(3)+1

1 < ln(3)
1-ln(3) < 0
-ln(3)+1 < 0

f'(1/3) = -ln(3)+1
-ln(3)+1 < 0
f'(1/3) < 0

x < 1/e
1/3 < 1/e
f'(1/3) < 0
f'(x) < 0 i x < 1/e

f'(x) < 0 i x < 1/e
f(x) strängt avtagande i x < 1/e

f(x) strängt avtagande i x < 1/e

Fall 2
1/e < x

1/e < x
1/e < 1/2
x = 1/2

f'(x) = ln(x)+1
x = 1/2
f'(1/2) = ln(1/2)+1

f'(1/2) = ln(1/2)+1
f'(1/2) = ln(1)-ln(2)+1
f'(1/2) = 0-ln(2)+1
f'(1/2) = -ln(2)+1

ln(2) < 1
0 < 1-ln(2)
0 < -ln(2)+1

f'(1/2) = -ln(2)+1
0 < -ln(2)+1
0 < f'(1/2)

1/e < x
1/e < 1/2
0 < f'(1/2)
0 < f'(x) i 1/e < x

0 < f'(x) i 1/e < x
f(x) strängt växande i 1/e < x

f(x) strängt växande i 1/e < x

f'(x) < 0 i x < 1/e
f'(x) ≠ 0 i x < 1/e

0 < f'(x) i 1/e < x
f'(x) ≠ 0 i 1/e < x

f'(x) ≠ 0 i x < 1/e
f'(x) ≠ 0 i 1/e < x
f'(x) ≠ 0 i x ≠ 1/e

f(x) kontinuerlig i 0 < x
f'(1/e) = 0
f'(x) ≠ 0 i x ≠ 1/e
f'(x) < 0 i x < 1/e
0 < f'(x) i 1/e < x
f(x) har globalt minimum i (1/e,f(1/e))

f(x) har globalt minimum i (1/e,f(1/e))
f(1/e) = -1/e
f(x) har globalt minimum i (1/e,-1/e)

f(x) har globalt minimum i (1/e,-1/e)
-1/e ≤ f(x) i 0 < x

f(x) kontinuerlig i 0 < x
f(x) har globalt minimum i (1/e,-1/e)
f(x) strängt avtagande i x < 1/e
f(x) strängt växande i 1/e < x
f(x) icke inverterbar

f(x) icke inverterbar

1/3 < 1/e
-x strängt avtagande för alla reella x
-1/e < -1/3

f(1/e) = -1/e
-1/e < -1/3
f(1/e) < -1/3

0 < e
0 < 1/x i 0 < x
0 < 1/e

f(1/e) < -1/3
0 < 1/e
-1/3 < f(x) i 0 < x falskt

-1/3 < f(x) i 0 < x falskt

Resultat

0 < x definitionsmängd för f(x)
f(x) obegränsad
f(x) strängt avtagande i x < 1/e
f(x) strängt växande i 1/e < x
f(x) icke inverterbar
-1/3 < f(x) i 0 < x falskt

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%28ln%28x%29%29

AndersLkpg:

d

danke!!

"Förklara varför volymen som genereras när y = f(x), a <= x <= b, roteras
runt x-axeln ges av formeln
R b
a (f(x))2 dx. Förklara varför volymen som
genereras när integral[a,b] pi(f(x))^2 dx <=x <= b, roteras runt y-axeln ges av formeln b
integral[a,b] pi(f(x))^2 dx. Vilka krav bör man ställa på funktionen f för att formlerna
ska fungera?"

http://www.math.kth.se/math/GRU/2010.2011/SF1625/CFATE/sem4.pdf 2c

Blivande_japan:

http://www.math.kth.se/math/GRU/2010.2011/SF1625/CFATE/sem4.pdf​ 2c

fan, blev konstigt ändå, koilla länken bara!!!!!