HobGoblin:

INT [arcsin(x)/x²] dx.

Variabelsubstitution

x = siny
dx = cosy dy
arcsin(x) = y
x^2 = sin(y)^2

so: Int[ y cosy / sin^2 (y)] = Partiell integration ger:
y * [-1/sin(y)] - Int[-1/sin(y)]
= -y/sin(y) + Int[1/siny]
= -y/sin(y) + Int[1/(2sin(y/2)cos(y/2))]
= -y/sin(y) + Int[1/2 * cos(y/2)/sin(y/2) * 1/[cos(y/2)^2]]
= -y/sin(y) + ln(|tan y|) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|tan (arcsin(x))|) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|x/sqrt(1-x^2)|) + C

Något sånt får jag det till
Möjligtvis kan det ha smugit in ett "+ eller - fel" någonstans.

HobGoblin:

INT [arcsin(x)/x²] dx
= -arcsin(x)/x + INT [1/(x*sqrt(1-x²))

Annan lösning är följande:
Från = -arcsin(x)/x + INT [1/(x*sqrt(1-x²)) kör variabelsubstitution
y=1-x^2
dy = -2x dx
dx = - 1/2x dy

= -arcsin(x)/x - INT [1/(2x^2*y)]

Men x^2 = 1-y

= -arcsin(x)/x + INT [1/(2(y-1)*y)] Partialbraksuppdelning
= -arcsin(x)/x + 1/2 * INT[ |1/(y-1) - 1/y ]
= -arcsin(x)/x + 1/2 * (ln(|y-1|) - ln (|1/y|) ] + C
= -arcsin(x)/x + 1/2 * ln((|y-1)/y|) + C
= -arcsin(x)/x + 1/2 * ln((x^2)/(1-x^2)) + C
= -arcsin(x)/x + ln(sqrt[(x^2)/(1-x^2)]) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|x/sqrt(1-x^2)|) + C

Vilket är samma lösning som tidigare

myspip:

= -y/sin(y) + ln(|tan y|) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|tan (arcsin(x))|) + C
= -arcsin(x)/x + ln(|x/sqrt(1-x^2)|) + C

Den senaste likheten blir uppenbar om man ritar upp enhetscirkeln med rätvinklig triangel inuti (dvs. hypotenusa´= 1, motstående katet´= x, närliggande = sqrt ( 1- x^2). )

btw, sqrt = Square root of

myspip:

= -arcsin(x)/x + ln(|x/sqrt(1-x^2)|) + C

Jo, frågade min lärare om det och fick samma metod som svar. Det konstiga är att metoden du just använt ju är inverssubstitution, och det har inte min bok gått igenom so far. Men men, antingen var uppgiften felplacerad, eller så var den bara lite elak!

Tack för hjälpen iaf 🙂

Upptäckte ett litet fel i

myspip:

= -arcsin(x)/x - INT [1/(2x^2*y)]

. Fast svaret blev rätt... Så det blev nog dubbelfel

Så istället för att använda
y=1-x^2
dy = -2x dx
dx = - 1/2x dy

Använder vi
y=sqrt(1-x^2)
dy = -x/sqrt(1-x^2) dx
dx = -sqrt(1-x^2)/x dy

Så -arcsin(x)/x + INT [1/(x*sqrt(1-x²)) dx = ... Etc.

myspip:

. Fast svaret blev rätt... Så det blev nog dubbelfel

Okej 😛 Partialbråken verkar enklare att använda sig av i det här fallet, eller hur?

Om du vill kan du ge mig förslag på hur man integrerar INT [arcsin(x)²] dx

HobGoblin:

INT [arcsin(x)²] dx

∫((arcsin(x))²dx) = ?

-1 ≤ x ≤ 1
-pi/2 ≤ y ≤ pi/2
x = sin(y)
y = arcsin(x)

dx/dy = cos(y)
dx = cos(y)dy
(arcsin(x))² = y²
(arcsin(x))²dx = y²cos(y)dy

∫((arcsin(x))²dx) = ∫(y²cos(y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = ∫(cos(y)y²dy)
[ ∫(f(y)g(y)dy) = ∫(f(y)dy)g(y)-∫(∫(f(y)dy)D(g(y))dy) ]
∫((arcsin(x))²dx) = ∫(cos(y)dy)y²-∫(∫(cos(y)dy)D(y²)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = sin(y)y²-∫(sin(y)(2y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)-2∫(sin(y)(y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)-2(∫(sin(y)dy)y-∫(∫(sin(y)dy)D(y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)-2(-cos(y)y)+2∫(-cos(y)(1)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)+2(y)cos(y)-2∫(cos(y)dy)
∫((arcsin(x))²dx) = y²sin(y)+2(y)cos(y)-2sin(y)+C
[ x² = (sin(y))²
(sin(y))²+(cos(y))² = 1
(cos(y))² = 1-(sin(y))²
(cos(y))² = 1-x²
-pi/2 ≤ y ≤ pi/2
cos(y) ≥ 0
cos(y) = √(1-x²) ]
∫((arcsin(x))²dx) = (arcsin(x))²x+2arcsin(x)√(1-x²)-2x+C

∫((arcsin(x))²dx) = x(arcsin(x))²+2√(1-x²)arcsin(x)-2x+C

Tråden låst på grund av inaktivitet