Jag behöver hjälp med problemlösning med ekvationssystem.

Om man köper 2 kg apelsiner och 3 kg vindruvor får man betala 183 kr. Om man istället köper 1.5 kg apelsiner och 1 kg vindruvor kostar det 76 kr. Vad kostar 1 kg vindruvor?

Tacksam för svar! 🙂

Anura:

Uppgift

Enheter kg,kr

1 kg apelsiner kostar x kr
1 kg vindruvor kostar y kr

2x+3y=183
1,5x+1y=76

1,5x+y=76
y=76-1,5x
y=-1,5x+76

2x+3(-1,5x+76)=183
2x-3∙1,5x+3∙76=183
2x-4,5x+228=183
(2-4,5)x=183-228
-2,5x=-45
x=-45/(-2,5)
x=18

y=-1,5∙18+76
y=-27+76
y=49

x=18
y=49

1 kg apelsiner kostar 18 kr
1 kg vindruvor kostar 49 kr

En till klurig en.

Till en konsert kan man köpa biljetter i två olika prislägen. En kväll fick man 25 200 kr och hade då sålt 120 dyra biljetter och 150 billiga. En annan kväll sålde man 150 dyra och 25 billiga biljetter och fick då in 27 000 kr. Vad kostade biljetterna?

Anura:

En till klurig en.

Till en konsert kan man köpa biljetter i två olika prislägen. En kväll fick man 25 200 kr och hade då sålt 120 dyra biljetter och 150 billiga. En annan kväll sålde man 150 dyra och 25 billiga biljetter och fick då in 27 000 kr. Vad kostade biljetterna?

Kalla de billiga för x, de dyra för y, och lös ekvationssystemet

150x + 120y = 25200
25x + 150y = 27000

med t.ex. addition- eller substitutionsmetoden.

HobGoblin:

med t.ex. addition- eller substitutionsmetoden.

hur får man bort 120 y och 150 y då?

Anura:

Uppgift

Ekvationssystemet {150x+120y=25200, 25x+150y=27000} har tyvärr ingen lösning {x, y} med x, y positiva heltal och x<y.

Till exempel ekvationssystemet {150x+120y=25200, 125x+150y=27000} har dock exakt en lösning {x, y}={72, 120} med x, y positiva heltal och x<y, så kontrollera gärna uppgiftens formulering.

http://sv.wikipedia.org/wiki/Additionsmetod
http://sv.wikipedia.org/wiki/Cramers_regel
http://sv.wikipedia.org/wiki/Gausselimination
http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass8.html

Finn volymen över ytan z=(x^2+y^2)^(1/4) och innanför sfären x^2+y^2+z^2=2

Tack!
tack för tidigare svar också, jättebra är ni

whiskas:

Finn volymen

Löser mha cylindriska koordinater. Mina paintskills är värdelösa och ekvationsprogrammet i word flippar men hoppas det framgår hur det ser ut "för hand".

Det viktigaste för den här typen av uppgiften är att få en bild över hur volymen kommer se ut. Så vi börjar med det!

Utgå från ytan z och sätt y=0 <=> z=(x^2)^(1/4)=|x|^(1/2)=sqrt(|x|). Eftersom y är 0 har vi en bild i xz-planet. Kom ihåg att |x| alltid speglas i en graf, så sqrt(|x|) tolkas som ett vanligt roten ur med spegling. Sätt nu x=0 <=> z=(y^2)^(1/4)=|y|^(1/2)=sqrt(|y|). Eftersom x är 0 har vi en bild i yz-planet. De båda graferna visas nedanför:

Cylindriska koordinater definieras som [r,θ,z] vilket ger x=r*cosθ, y=r*sinθ, z=z. Vidare gäller x^2+y^2=r^2.

Jag hoppas att du kan tänka dig graferna ovanför i tre dimensioner. Tänk dig z som höjden och sedan ser x och y likadana ut för z-axeln. Då får vi något som liknar

Det röda är sfären som kommer att tangera kanterna vilket ger den gröna yta/skugga i xy-planet med en radie r. Vi vill veta vart skärningen mellan ytorna sker, det vill säga radien för skärningscirkeln, så sätt de båda funktionerna lika med varandra;

z^2=(x^2+y^2)^(1/4)=2-x^2-y^2 som via r^2=x^2+y^2 ger att |r|=(r^2)^(1/2)=2-r^2 ; r>0 ty radien r ges av |r|. r=2-r^2 <=> r^2+r-2=0 <=> (r-1)(r+2)=0 dvs r=1, -2 och vi väljer r=1 eftersom radien såklart är positiv.

Låt oss kalla det nya området för Ω. Från ovanstående bild kan det slutna området tolkas typ

Vi behöver intervallen för trippelintegralen i cylindriska koordinater.

0 ≤ θ ≤ 2π eftersom området är rotationssymmetriskt.
0 ≤ r ≤ 1 är den radie vi har räknat ut
sqrt(r) ≤ z ≤ sqrt(2-r^2) fås av övre och undre funktion i vårt z-led.

Nu är vi nog redo att beräkna integralen.

Pickaboo:

Löser

Tack

kan någon svaret på den här uppgiften? Hade varit väldigt tacksam för svar.

Om ett tal är parallell med ett annat så har dem samma k-värde. Vilket är y=2x-3. Lös ut en ekvation för en som skär sig i y-axeln: y-3.

Och en till:

lös en ekvation för dessa skärningspunkter:

(-2,-1) och (2,-4)

Anura:

Uppgift 1

Uppgiften är tyvärr obegriplig, så kontrollera gärna uppgiftens formulering.

Anura:

Uppgift 2

Lösning 1

ax+by+c=0

ax[ 1]+by[ 1]+c=0
ax[ 2]+by[ 2]+c=0

x[ 1]=-2
y[ 1]=-1
x[ 2]=2
y[ 2]=-4

a∙(-2)+b∙(-1)+c=0
-2a-b+c=0
-2a+c=b
b=-2a+c

a∙2+b∙(-4)+c=0
2a-4b+c=0
2a+c=4b
4b=2a+c

4b=4(-2a+c)
4b=4∙(-2)a+4c
4b=-8a+4c

2a+c=-8a+4c
2a+8a=4c-c
(2+8)a=(4-1)c
10a=3c
a=3c/10
a=(3/10)c

2a=c-b
2a=-b+c

4b-c=2a
2a=4b-c

-b+c=4b-c
-b-4b=-c-c
(-1-4)b=(-1-1)c
-5b=-2c
b=-2c/(-5)
b=(-2/(-5))c
b=(2/5)c

c reellt tal, c≠0
Exempelvis c=10

a=(3/10)∙10
a=3∙10/10
a=30/10
a=3

b=(2/5)∙10
b=2∙10/5
b=20/5
b=4

3x+4y+10=0

4y=-3x-10
y=(-3x-10)/4
y=-3x/4-10/4
y=(-3/4)x-5/2

Lösning 2

(y-y[ 1])/(x-x[ 1])=(y[ 1]-y[ 2])/(x[ 1]-x[ 2])

y-y[ 1]=((y[ 1]-y[ 2])/(x[ 1]-x[ 2]))(x-x[ 1])
y=((y[ 1]-y[ 2])/(x[ 1]-x[ 2]))x-((y[ 1]-y[ 2])/(x[ 1]-x[ 2]))x[ 1]+y[ 1]

x[ 1]=-2
y[ 1]=-1
x[ 2]=2
y[ 2]=-4

(y[ 1]-y[ 2])/(x[ 1]-x[ 2])=(-1-(-4))/(-2-2)
(y[ 1]-y[ 2])/(x[ 1]-x[ 2])=(-1+4)/(-4)
(y[ 1]-y[ 2])/(x[ 1]-x[ 2])=3/(-4)
(y[ 1]-y[ 2])/(x[ 1]-x[ 2])=-3/4

y=(-3/4)x-(-3/4)∙(-2)+(-1)
y=(-3/4)x-3∙2/4-1
y=(-3/4)x-6/4-1
y=(-3/4)x-3/2-1
y=(-3/4)x-3/2-2/2
y=(-3/4)x-(3+2)/2
y=(-3/4)x-5/2

y+(3/4)x+5/2=0
(3/4)x+y+5/2=0
4((3/4)x+y+5/2)=4∙0
4∙(3/4)x+4y+4∙5/2=0
(4∙3/4)x+4y+20/2=0
(12/4)x+4y+10=0
3x+4y+10=0

AndersLkpg:

Uppgiften

Hej Anders! Sätter mitt hopp till dig, eller vem som nu är hjälpsam.

Jag ska beräkna den slutna kurvintegralen
(x*sin(y^2)-y^2)dx+(x^2y*cos(y^2)+3x)dy mha Gre​en's theorem där C inte är någon "kurva" utan en parallelltrapets som ges av (0,-2), (1,-1), (1,1), (0,2) med positivt orienterad riktning.

Har kommit fram till att den itererade integralen över D blir 2xy*cos(y^2)+3-2xy*cos(y^2)+2y dxdy, men jag vet inte vilka gränser jag ska sätta. Hade det varit en kurva hade väl elliptiska koordinater fungerat men när det är räta linjer blir jag lite ställd även om det känns som att det blir lättare... Något tips?

Svaret är 9.

29. En cirkel tangerar en rät linje i punkten A. Punkten P påa cirkeln projiceras vinkelrätt på linjen på punkten Q. Om |PQ| = 3 llängdenheter och |AQ| = 4 langdenheter, bestam cirkelns radie.

Pickaboo:

Uppgift

∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=∫∫[ D]((∂Q/∂x-∂P/∂y)∙dx∙dy)

P=x∙sin(y²)-y²
Q=x²∙y∙cos(y²)+3∙x

C=parallelltrapetsen {(0,-2),(0,2),(1,-1),(1,1)}
D=parallelltrapetsen {(0,-2),(0,2),(1,-1),(1,1)}

∂P/∂y=x∙cos(y²)∙2∙y-2∙y
∂P/∂y=2∙x∙y∙cos(y²)-2∙y

∂Q/∂x=2∙x∙y∙cos(y²)+3

∂Q/∂x-∂P/∂y=2∙x∙y∙cos(y²)+3-(2∙x∙​y∙cos(y²)-2∙y)
∂Q/∂x-∂P/∂y=2∙x∙y∙cos(y²)+3-2∙x∙​y∙cos(y²)+2∙y
∂Q/∂x-∂P/∂y=2∙x∙y∙cos(y²)-2∙x∙​y∙cos(y²)+2∙y+3
∂Q/∂x-∂P/∂y=(2-2)∙x∙y∙cos(y²)+2∙y+3
​
∂Q/∂x-∂P/∂y=0∙x∙y∙cos(y²)+2∙y+3
∂Q/∂x-∂P/∂y=0+2∙y+3
∂Q/∂x-∂P/∂y=2∙y+3

D1=triangeln {(0,-1),(0,-2),(1,-1)}
0≤x≤y+2
-2≤y≤-1

D2=rektangeln {(0,-1),(0,1),(1,-1),(1,1)}
0≤x≤1
-1≤y≤1

D3=triangeln {(0,1),(0,2),(1,1)}
0≤x≤-y+2
1≤y≤2

D=D1∪D2∪D3

∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=∫∫[ D]((2∙y+3)∙dx∙dy)
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=∫∫[ D](2∙y∙dx∙dy)+∫∫[ D](3∙dx∙dy)
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=2∙∫∫[ D](y∙dx∙dy)+3∙∫∫[ D](dx∙dy)
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=2∙∫∫[ D1∪D2∪D3](y∙dx∙dy)+3∙∫∫[ D1∪D2∪D3](dx∙dy)
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=2∙(∫∫[ D1](y∙dx∙dy)+∫∫[ D2](y∙dx∙dy)+∫∫[ D3](y∙dx∙dy))+3∙(∫∫[ D1](dx∙dy)+∫∫[ D2](dx∙dy)+∫∫[ D3](dx∙dy))
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=2∙∫∫[ D1](y∙dx∙dy)+2∙∫∫[ D2](y∙dx∙dy)+2∙∫∫[ D3](y∙dx∙dy)+3∙∫∫[ D1](dx∙dy)+3∙∫∫[ D2](dx∙dy)+3∙∫∫[ D3](dx∙dy)

∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=∫[-2,-1](y∙∫[0,y+2](dx)∙dy)
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=∫[-2,-1](y∙(y+2-0)∙dy)
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=∫[-2,-1](y∙(y+2)∙dy)
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=∫[-2,-1]((y∙y+y∙2)∙dy)
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=∫[-2,-1]((y²+2∙y)∙dy)
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=∫[-2,-1](y²∙dy)+∫[-2,-1](2∙y∙​dy)
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=∫[-2,-1](y²∙dy)+2∙∫[-2,-1](y∙​dy)
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=(-1)³/3-(-2)³/3+2∙((-1)²/2-(-2)²/2)
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=-1/3-(-8)/3+2∙(1/2-4/2)
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=-1/3+8/3+2∙(1-4)/2
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=(-1+8)/3+2∙(-3)/2
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=7/3-6/2
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=7/3-3
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=7/3-9/3
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=(7-9)/3
∫∫[ D1](y∙dx∙dy)=-2/3

∫∫[ D2](y∙dx∙dy)=∫[-1,1](y∙∫[0,1](dx)∙dy)
∫∫[ D2](y∙dx∙dy)=∫[-1,1](y∙(1-0)∙dy)
∫∫[ D2](y∙dx∙dy)=∫[-1,1](y∙1∙dy)
∫∫[ D2](y∙dx∙dy)=∫[-1,1](y∙dy)
∫∫[ D2](y∙dx∙dy)=1²/2-(-1)²/2
∫∫[ D2](y∙dx∙dy)=1/2-1/2
∫∫[ D2](y∙dx∙dy)=(1-1)/2
∫∫[ D2](y∙dx∙dy)=0/2
∫∫[ D2](y∙dx∙dy)=0

∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=∫[1,2](y∙∫[0,-y+2](dx)∙dy)
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=∫[1,2](y∙(-y+2-0)∙dy)
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=∫[1,2](y∙(-y+2)∙dy)
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=∫[1,2]((-y∙y+y∙2)∙dy)
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=∫[1,2]((-y²+2∙y)∙dy)
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=∫[1,2](-y²∙dy)+∫[1,2](2∙y∙dy)​
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=-∫[1,2](y²∙dy)+2∙∫[1,2](y∙dy)​
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=-(2³/3-1³/3)+2∙(2²/2-1²/2)
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=-(8/3-1/3)+2∙(4/2-1/2)
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=-(8-1)/3+2∙(4-1)/2
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=-7/3+2∙3/2
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=-7/3+6/2
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=-7/3+3
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=-7/3+9/3
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=(-7+9)/3
∫∫[ D3](y∙dx∙dy)=2/3

∫∫[ D1](dx∙dy)=(1-0)∙(-1-(-2))/2
∫∫[ D1](dx∙dy)=1∙(-1+2)/2
∫∫[ D1](dx∙dy)=1/2

∫∫[ D2](dx∙dy)=(1-0)∙(1-(-1))
∫∫[ D2](dx∙dy)=1∙(1+1)
∫∫[ D2](dx∙dy)=2

∫∫[ D3](dx∙dy)=(1-0)∙(2-1)/2
∫∫[ D3](dx∙dy)=1∙1/2
∫∫[ D3](dx∙dy)=1/2

∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=2∙(-2/3)+2∙0+2∙2/3+3∙1/2+3∙2​+3∙1/2
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=-2∙2/3+0+4/3+3/2+6+3/2
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=-4/3+4/3+3/2+3/2+6
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=(-4+4)/3+(3+3)/2+6
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=0/3+6/2+6
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=0+3+6
∫∫[ C](P∙dx+Q∙dy)=9

http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_integral

köttfärssås:

Uppgift 29

M=cirkelns medelpunkt
r=cirkelns radie

AMP+APM+MAP=π
AP²=AQ²+PQ²
cos(APQ)=PQ/AP
cos(PAQ)=AQ/AP
MAQ=MAP+PAQ
sin(AMP)/AP=sin(APM)/AM
sin(APQ)=AQ/AP
sin(PAQ)=PQ/AP

AM=MP
APM=MAP
r=AM

AQ=4
AQP=π/2
MAQ=π/2
PQ=3

AP²=4²+3²
AP²=16+9
AP²=25
√(AP²)=√25
AP=5

cos(APQ)=3/5
cos(PAQ)=4/5
sin(APQ)=4/5
sin(PAQ)=3/5

AMP+APM+APM=π
AMP+(1+1)∙APM=π
AMP+2∙APM=π
AMP=π-2∙APM

MAQ=APM+PAQ
π/2=APM+PAQ
π/2-PAQ=APM

AMP=π-2∙(π/2-PAQ)
AMP=π-2∙π/2+2∙PAQ
AMP=π-2/2∙π+2∙PAQ
AMP=π-1∙π+2∙PAQ
AMP=π-π+2∙PAQ
AMP=(1-1)∙π+2∙PAQ
AMP=0∙π+2∙PAQ
AMP=0+2∙PAQ
AMP=2∙PAQ

sin(AMP)=sin(2∙PAQ)
sin(AMP)=2∙sin(PAQ)∙cos(PAQ)
sin(AMP)=2∙3/5∙4/5
sin(AMP)=6∙4/(5∙5)
sin(AMP)=24/25

(24/25)/5=sin(π/2-PAQ)/r
r∙24/25=5∙cos(PAQ)
r=25/24∙5∙4/5
r=25∙20/(24∙5)
r=500/120
r=25/6

köttfärssås:

Uppgift 30 (i detta inlägg)

AB²=AM²+BM²-2∙AM∙BM∙cos(AMB)
ABCD=AB∙AD
ABCD=2∙AB∙AM∙sin(BAM)/2
AM²=(AB/2)²+AD²
sin(ABM)/AM=sin(AMB)/AB

AB=AD
ABM=BAM
AM=BM

AM²=AB²/2²+AB²
AM²=(1/4)∙AB²+AB²
AM²=(1/4+1)∙AB²
AM²=(1/4+4/4)∙AB²
AM²=((1+4)/4)∙AB²
AM²=(5/4)∙AB²
4/5=AB²/AM²
4/5=(AB/AM)²

ABCD=AB∙AB
ABCD=AB²

BAM=ABM
AB∙sin(ABM)=AM∙sin(AMB)
ABCD=2/2∙AM∙AB∙sin(ABM)
ABCD=1∙AM∙AM∙sin(AMB)
ABCD=AM²∙sin(AMB)

AB²=AM²∙sin(AMB)
AB²/AM²=sin(AMB)
(AB/AM)²=sin(AMB)
4/5=sin(AMB)

2∙AM∙AM∙cos(AMB)=AM²+AM²-AB²
2∙AM²∙cos(AMB)=-AB²+(1+1)∙AM²
2∙AM²∙cos(AMB)=-AB²+2∙AM²
cos(AMB)=(-AB²+2∙AM²)/(2∙AM²)
cos(AMB)=-AB²/(2∙AM²)+2∙AM²/(2∙AM²)
cos(AMB)=-((AB/AM)²)/2+1
cos(AMB)=-(4/5)/2+1
cos(AMB)=-4/(5∙2)+1
cos(AMB)=-4/10+1
cos(AMB)=-2/5+1
cos(AMB)=-2/5+5/5
cos(AMB)=(-2+5)/5
cos(AMB)=3/5

tan(AMB)=sin(AMB)/cos(AMB)
tan(AMB)=(4/5)/(3/5)
tan(AMB)=4/5∙5/3
tan(AMB)=4∙5/(5∙3)
tan(AMB)=20/15
tan(AMB)=4/3

AndersLkpg:

∫∫

Oh, hur skriver du integraltecken här? 😀