Ögon i en plåthink:

Funktionen x^2 - 8x + a är given. Vad är a om funktionens minimivärde är -6?

Ska man inte derivera,
sätta f'(x)=0 och lösa ut x,
sätta in x i ursprungliga ekvationen,
anta då y=-6,
och sen lösa ut a?

ohdeer:

Ska man inte derivera,
sätta f'(x)=0 och lösa ut x,
sätta in x i ursprungliga ekvationen,
anta då y=-6,
och sen lösa ut a?

Men vi har inte kommit till kapitlet där derivering gås igenom, än, ens...

Ögon i en plåthink:

Men vi har inte kommit till kapitlet där derivering gås igenom, än, ens...

Okej, jag vet inte isf. 🙁 Jag är osäker.

Ögon i en plåthink:

Uppgift

Lösning med kvadratkomplettering

f(x)=x²-8x+a
minimum(f(x))=-6
x reellt tal

f(x)=x²-2∙4x+a
f(x)=x²-2∙4x+a+4²-4²
f(x)=x²-2∙4x+4²+a-16
f(x)=(x-4)²+a-16

minimum(f(x))=minimum((x-4)²+a-16)

minimum(f(x))=0²+a-16
minimum(f(x))=a-16+0
minimum(f(x))=a-16

-6=a-16

-6+16=a
10=a
a=10

Lösning med derivator
Fortsättning på ohdeers lösningsskiss

f(x)=x²-8x+a
minimum(f(x))=-6
x reellt tal

f'(x)=2x-8+0
f'(x)=2x-8

f'(x)=2x-2∙4
f'(x)=2(x-4)

f''(x)=2-0
f''(x)=2

f''(x)>0

f'(x)=0

2(x-4)=0
x-4=0/2
x=0+4
x=4

minimum(f(x))=f(4)

minimum(f(x))=4²-8∙4+a
minimum(f(x))=a+16-32
minimum(f(x))=a-16

-6=a-16

-6+16=a
10=a
a=10

kromofobi:

Uppgift 1 (i denna tråd)

(Denna uppgift är tyvärr ofullständig, varför dessa lösningar förutsätter att den nedre kateten är 28 cm.)

Lösning 1

Enheter cm, cm²

h=h[ 1]+h[ 2]
h²=k[ 1]²+k[ 2]²
h[ 1]²=(k[ 1]-s)²+s²
h[ 2]²=s²+(k[ 2]-s)²
k[ 1]/k[ 2]=(k[ 1]-s)/s=s/(k[ 2]-s)
k[ 1]k[ 2]/2=s²+(k[ 1]-s)s/2+s(k[ 2]-s)/2

k[ 1]=28
k[ 2]=21

(k[ 1]-s)(k[ 2]-s)=s²
k[ 1]k[ 2]-k[ 1]s-sk[ 2]+s²=s²
k[ 1]k[ 2]=s²-s²+k[ 1]s+k[ 2]s
k[ 1]k[ 2]=(1-1)s²+(k[ 1]+k[ 2])s
k[ 1]k[ 2]=0s²+(k[ 1]+k[ 2])s
k[ 1]k[ 2]=0+(k[ 1]+k[ 2])s
k[ 1]k[ 2]=(k[ 1]+k[ 2])s
k[ 1]k[ 2]/(k[ 1]+k[ 2])=s
s=k[ 1]k[ 2]/(k[ 1]+k[ 2])
s=28∙21/(28+21)
s=588/49
s=12

Lösning 2

Enheter cm, cm²

h=h[ 1]+h[ 2]
h²=k[ 1]²+k[ 2]²
h[ 1]²=(k[ 1]-s)²+s²
h[ 2]²=s²+(k[ 2]-s)²
k[ 1]/k[ 2]=(k[ 1]-s)/s=s/(k[ 2]-s)
k[ 1]k[ 2]/2=s²+(k[ 1]-s)s/2+s(k[ 2]-s)/2

k[ 1]=28
k[ 2]=21

k[ 1]k[ 2]/2=s²+k[ 1]s/2-s²/2+sk[ 2]/2-s²/2
k[ 1]k[ 2]/2=s²-s²/2-s²/2+k[ 1]s/2+k[ 2]s/2
k[ 1]k[ 2]/2=(1-1/2-1/2)s²+(k[ 1]+k[ 2])s/2
k[ 1]k[ 2]/2=(2/2-1/2-1/2)s²+(k[ 1]+k[ 2])s/2
k[ 1]k[ 2]/2=(2-1-1)s²/2+(k[ 1]+k[ 2])s/2
k[ 1]k[ 2]/2=0s²/2+(k[ 1]+k[ 2])s/2
k[ 1]k[ 2]/2=0+(k[ 1]+k[ 2])s/2
k[ 1]k[ 2]/2=(k[ 1]+k[ 2])s/2
2k[ 1]k[ 2]/2=2(k[ 1]+k[ 2])s/2
k[ 1]k[ 2]=(k[ 1]+k[ 2])s
k[ 1]k[ 2]/(k[ 1]+k[ 2])=s
s=k[ 1]k[ 2]/(k[ 1]+k[ 2])
s=28∙21/(28+21)
s=588/49
s=12

kromofobi:

Uppgift 2 (i denna tråd)

Lösning

Enheter cm, cm²

AB=AD+BD
AB=BC
ABC=ACED+BDE
ABC/BDE=(AC/DE)²
AC/AB=DE/BD
AD=CE=DE
BC=BE+CE

AB=24
AC=12

AC/AB=AD/BD
AC∙BD=AB∙AD
AB-AD=BD
BD=AB-AD
AC∙(AB-AD)=AB∙AD
AC∙AB-AC∙AD=AB∙AD
AB∙AC=AB∙AD+AC∙AD
AB∙AC=(AB+AC)AD
AB∙AC/(AB+AC)=AD
AD=AB∙AC/(AB+AC)
AD=24∙12/(24+12)
AD=288/36
AD=8

ABC-BDE=ACED
ACED=ABC-BDE
ACED/ABC=(ABC-BDE)/ABC
ACED/ABC=ABC/ABC-BDE/ABC
ACED/ABC=1-BDE/ABC
ABC/BDE=(AC/AD)²
BDE/ABC=(AD/AC)²
BDE/ABC=(8/12)²
BDE/ABC=(2/3)²
BDE/ABC=2²/3²
BDE/ABC=4/9
ACED/ABC=1-4/9
ACED/ABC=9/9-4/9
ACED/ABC=(9-4)/9
ACED/ABC=5/9

Här är en till förklaring till uppgift 1. Förhållandet mellan triangelns sidor är DB/DE=AB/AC

Längden DB ges av 21-S, längden DE av S, AB av 21 och AC av 28. Sätt ihop sambanden i första formeln så får du:

(21-S)/S=(21/28)

Flytta om lite i ekvationen så ser du att S=12.

AndersLkpg:

ACED/ABC=5/9

Tack för svar, men jag har tyvärr lite svårt att tyda dina lösningar .

Pickaboo:

Här är en till förklaring till uppgift 1.

Tack, nu förstår jag. Men eftersom 28cm inte var utsatt på uppgiften har jag mycket svårt att förstå hur de tänkt att man ska lösa den.

kromofobi:

Tack, nu förstår jag. Men eftersom 28cm inte var utsatt på uppgiften har jag mycket svårt att förstå hur de tänkt att man ska lösa den.

Well, jag med. Försöker man lösa den som jag gjorde utan 28 cm får man två obekanta men otillräckliga ekvationer. Det borde även att gå och lösa den som ett koordinatsystem där hypotenusan är ett k-värde i ekvationen y=kx+m, men då förutsätter det också 28 cm.

Kanske är ett tryckfel? Anders är mycket bättre på matte än mig så han hade nog sett om det gick utan 28 cm

Pickaboo:

tryckfel

Antagligen

kromofobi:

Tack

Varsågod.

kromofobi:

Svårbegriplighet

Ajdå. Förlåt.
Nedan följer ännu några beräkningar, förklaringar och kommentarer.

Pickaboo:

Beröm

Äsch. Nejdå.
*Berömmer Pickaboo för hans utmärkta lösningar med både bilder, formler och ord*

kromofobi:

Uppgift 1

Förklaringar

h (BC)
Längden av den stora triangelns hypotenusa
h[ 1] (CE)
Längden av den högra nedre lilla triangelns hypotenusa
h[ 2] (BE)
Längden av den vänstra övre lilla triangelns hypotenusa
k[ 1] (AC)
Längden av den stora triangelns nedre katet
k[ 2] (AB)
Längden av den stora triangelns vänstra katet
k[ 1]-s (CF)
Längden av den högra nedre lilla triangelns nedre katet
k[ 2]-s (BD)
Längden av den vänstra övre lilla triangelns vänstra katet
s (AD, AF, DE, EF)
Längderna av kvadratens sidor
s (DE)
Längden av den vänstra övre lilla triangelns nedre katet
s (EF)
Längden av den högra nedre lilla triangelns vänstra katet

k[ 1]k[ 2]/2 (AC∙AB/2)
Arean av den stora triangeln
(k[ 1]-s)s/2 (CF∙EF/2)
Arean av den högra nedre lilla triangeln
s² (AF∙AD)
Arean av kvadraten
s(k[ 2]-s)/2 (DE∙BD/2)
Arean av den vänstra övre lilla triangeln

h=h[ 1]+h[ 2] (BC=CE+BE)
Längden av den stora triangelns hypotenusa är lika med summan av längderna av de små trianglarnas hypotenusor.
h²=k[ 1]²+k[ 2]² (BC²=AC²+AB²)
För längderna av den stora triangelns sidor gäller Pythagoras sats.
h[ 1]²=(k[ 1]-s)²+s² (CE²=CF²+EF²)
För längderna av den högra nedre lilla triangelns sidor gäller Pythagoras sats.
h[ 2]²=s²+(k[ 2]-s)² (BE²=DE²+BD²)
För längderna av den vänstra övre lilla triangelns sidor gäller Pythagoras sats.
k[ 1]/k[ 2]=(k[ 1]-s)/s=s/(k[ 2]-s) (AC/AB=CF/EF=DE/BD)
Den stora triangeln och de små trianglarna är likformiga.
k[ 1]k[ 2]/2=s²+(k[ 1]-s)s/2+s(k[ 2]-s)/2 (AC∙AB/2=AF∙AD+CF∙EF/2+DE∙BD/2)
Arean av den stora triangeln är lika med summan av arean av kvadraten och areorna av de små trianglarna.

AD=AF=DE=EF
Längderna av kvadratens sidor är lika.

Kommentarer

För att lösa denna uppgift så är det tillräckligt att utgå från delar av ovanstående ekvationer.
Min lösning 1 och Pickaboos lösning utgår enbart från trianglarnas likformighet.
Min lösning 2 utgår enbart från figurernas areor.

kromofobi:

Uppgift 1

Pickaboo:

Uppgift 1

Beräkningar

1/s=(k[ 1]+k[ 2])/(k[ 1]k[ 2])
1/s=k[ 1]/(k[ 1]k[ 2])+k[ 2]/(k[ 1]k[ 2])
1/s=1/k[ 2]+1/k[ 1]
1/s=1/k[ 1]+1/k[ 2]
s=1/(1/k[ 1]+1/k[ 2])
1/k[ 2]→∞ då k[ 2]→0
1/k[ 1]+1/k[ 2]→∞ då k[ 2]→0
1/(1/k[ 1]+1/k[ 2])→0 då k[ 2]→0
s→0 då k[ 2]→0
1/k[ 2]→0 då k[ 2]→∞
1/k[ 1]+1/k[ 2]→1/k[ 1]+0 då k[ 2]→∞
1/k[ 1]+1/k[ 2]→1/k[ 1] då k[ 2]→∞
1/(1/k[ 1]+1/k[ 2])→k[ 1] då k[ 2]→∞
s→k[ 1] då k[ 2]→∞
0<s<k[ 1]

1/s-1/k[ 2]=1/k[ 1]
k[ 2]/(k[ 2]s)-s/(k[ 2]s)=1/k[ 1]
(k[ 2]-s)/(k[ 2]s)=1/k[ 1]
k[ 2]s/(k[ 2]-s)=k[ 1]
k[ 1]=k[ 2]s/(k[ 2]-s)
k[ 1]=21∙12/(21-12)
k[ 1]=252/9
k[ 1]=28

Kommentarer

Denna uppgift är i sin ursprungliga form underbestämd med exakt en ekvation, och den har därför oändligt många positiva reella lösningar s ingående i lösningsmängden {s: 0<s<k[ 1]} för alla positiva reella värden av k[ 1].
Om uppgiften kompletteras med ännu en konsistent och linjärt oberoende ekvation, så blir den välbestämd och får exakt en positiv reell lösning s ingående i lösningsmängden {s: s=k[ 1]k[ 2]/(k[ 1]+k[ 2])} för alla positiva reella värden av k[ 1] och k[ 2].
Några exempel på sådana ekvationer som dessutom berör längder av sträckor och är förenliga med ekvationerna i mängden {k[ 2]=21, s=12} ingår i mängden {h=35, h[ 1]=20, h[ 2]=15, k[ 1]=28, k[ 1]-s=16, k[ 2]-s=9}.

kromofobi:

Uppgift 2

Förklaringar

AB=AD+BD
Längden av den stora triangelns vänstra sida är lika med summan av längden av parallelltrapetsets vänstra sida och längden av den lilla triangelns vänstra sida.
AB=BC
Den stora triangeln är likbent.
ABC=ACED+BDE
Arean av den stora triangeln är lika med summan av arean av parallelltrapetset och arean av den lilla triangeln.
ABC/BDE=(AC/DE)²
Vid likformighet så är skalan av figurernas areor lika med kvadraten av skalan av figurernas längder.
AC/AB=DE/BD
Den stora triangeln och den lilla triangeln är likformiga.
AD=CE=DE
Längderna av tre av parallelltrapetsets sidor är lika.
BC=BE+CE
Längden av den stora triangelns högra sida är lika med summan av längden av parallelltrapetsets högra sida och längden av den lilla triangelns högra sida.

Jag har fastnat på några uppgifter i Matte C-boken Matematik 3000. Det är 1465, 1466 och 1467, på s. 45. Det gäller grafer, och eftersom man inte kan rita grafer här i forumet får jag bara hoppas att det finns någon vänlig själ som har boken hemma som kan hjälpa mig!

aspietjej:

Det gäller grafer, och eftersom man inte kan rita grafer här i forumet får jag bara hoppas att det finns någon vänlig själ som har boken hemma som kan hjälpa mig!

Det känns ganska osannolikt att du ska få svar på detta. Pickaboo's step-by-step guide:

1. Öppna paint. Rita graferna på ett ungefär.
2. Skriv ner uppgiften och alla data, funktioner osv som du får.
3. Bifoga bilden du gjorde i paint via bild-symbolen till höger. Det gör du genom att först ladda upp bilden på till exempel www.tinypic.com. Högerklicka på den uppladdade bilden -> visa bild -> kopiera in länken. Skriv svar. Done.

Hej

2.9=2.7 cos a + sin a

Hur ska jag få fram vinkel a ur den? Antingen missar jag nåt uppenbart eller så är det svårare än det ser ut.

Har inte hittat några passande formler heller...

Gustavxz:

Uppgift

Generell lösning

Asin(x)+Bcos(x)=C

Asin(x)+Bcos(x)=Dsin(x+E)

Asin(x)+Bcos(x)=D(sin(x)cos(E)+sin(E)cos(x))
Asin(x)+Bcos(x)=Dcos(E)sin(x)+Dsin(E)cos(x)
Asin(x)=Dcos(E)sin(x)
A=Dcos(E)
Bcos(x)=Dsin(E)cos(x)
B=Dsin(E)
B/A=Dsin(E)/(Dcos(E))
B/A=tan(E)
E=πn[ 1]+arctan(B/A), n[ 1] heltal
D=B/sin(E)

Dsin(x+E)=C
sin(x+E)=C/D
x[ 1]+E=2πn[ 2]+arcsin(C/D), n[ 2] heltal
x[ 2]+E=2πn[ 3]-arcsin(C/D)+π, n[ 3] heltal
x[ 1]=2πn[ 2]+arcsin(C/D)-E
x[ 2]=2πn[ 3]-arcsin(C/D)-E+π

maximum(Asin(x)+Bcos(x))=maximum(Dsin(x+E))
maximum(Asin(x)+Bcos(x))=|D|maximum(sin(x+E))
maximum(Asin(x)+Bcos(x))=|D|∙1
maximum(Asin(x)+Bcos(x))=|D|

Specifik lösning

2,9=2,7cos(a)+sin(a)

sin(a)+2,7cos(a)=2,9

A=1
x=a
B=2,7
C=2,9

E=πn[ 1]+arctan(2,7/1)
E=πn[ 1]+arctan(2,7)
E≈πn[ 1]+1,2161

n[ 1]=0 exempelvis
E[ 1]≈π∙0+1,2161
E[ 1]≈0+1,2161
E[ 1]≈1,2161

D[ 1]=2,7/sin(E[ 1])
D[ 1]≈2,8792

|D[ 1]|≈|2,8792|
|D[ 1]|≈2,8792

maximum(sin(a)+2,7cos(a))=|D[ 1]|
maximum(sin(a)+2,7cos(a))≈2,8792
maximum(sin(a)+2,7cos(a))<2,9
Ingen reell lösning a

AndersLkpg:

Generell lösning

Åh fyfan. Byta hjärna?