lim (h->0) ((2+h)^3-8)/h

Tänk på att det i parentesen enligt derivatans definition kan stå (a+h), alternativt (x+h), nu ser vi att a=2.

Det leder till att f'(2)=lim (h->0) ((2+h)^3-8)/h. Jämför detta med derivatans definition.

f'(x)=lim x->0 (f(x+h)-f(x))/h. Du vet att f(2) skall bli 8 och att x är 2. Det ger oss att f(2)=2^3=8
Ser du nu vad f(x) är? Hoppas inlägget inte vart för flummigt.

jo, räknade ut det där innan ;P

Men har en annan fråga som jag inte kan klura ut...

En korvhandlare köper in korv för 5 kr/st. Han brukar sälja dem för 7 kr/st. En normal dag
brukar han sälja 100 korvar. (Han tjänar alltså bara 200 kr per dag.) Han funderar på att höja
priset på korven, men tror att varje krona han höjer priset över de 7 kronorna så förlorar han
5 kunder. Ett korvpris på 8 kr/st betyder endast 95 sålda korvar. Om priset är 9 kr/st, kan
han sälja 90 korvar o.s.v.
Bestäm med hjälp av derivata det korvpris som ger bästa möjliga förtjänst åt vår
korvhandlare.

Holymacarony:

Uppgift 2

Enhet: krona

Pris per såld korv: x
Förtjänst per dag: f(x)

x ≥ 0

Förtjänst per såld korv: x-5
Antal sålda korvar per dag: 100-5(x-7)

f(x) = (100-5(x-7))(x-5)

f(x) = (100-5(x-7))(x-5)
f(x) = (5*20-5*1(x-7))(x-5)
f(x) = 5(20-1(x-7))(x-5)
f(x) = 5(20-(x-7))(x-5)
f(x) = 5(20-x+7)(x-5)
f(x) = 5(-x+20+7)(x-5)
f(x) = 5(-x+27)(x-5)
f(x) = 5(-(x-27))(x-5)
f(x) = -5(x-27)(x-5)
f(x) = -5(x-5)(x-27)

f(x) = -5(x-5)(x-27)
f(x) = -5(x*x-27x-5x+5*27)
f(x) = -5(x²-(27+5)x+135)
f(x) = -5(x²-32x+135)

f(x) = -5(x²-32x+135)
f(x) = -5(1x²-32x¹+135*1)
f(x) = -5(1x²-32x¹+135x°)

f(x) = -5(1x²-32x¹+135x°)
f'(x) = -5(1*2x^(2-1)-32*1x^(1-1)+135*0)
f'(x) = -5(2x¹-32x°+0)
f'(x) = -5(2x-32*1)
f'(x) = -5(2x-32)
f'(x) = -5(2*1x-2*16)
f'(x) = -5*2(1x-16)
f'(x) = -10(x-16)

f'(x) = 0
f'(x) = -10(x-16)
0 = -10(x-16)

0 = -10(x-16)
0/(-10) = -10(x-16)/(-10)
0 = (-10/(-10))(x-16)
0 = (10/10)(x-16)
0 = 1(x-16)
0 = x-16
16 = x
x = 16

x ≥ 0
x = 16
16 > 0
Möjligt

f'(x) = 0
x = 16
f'(16) = 0

f'(x) = -10(x-16)
f'(x) = -10(1x¹-16*1)
f'(x) = -10(1x¹-16x°)

f'(x) = -10(1x¹-16x°)
f''(x) = -10(1*1x^(1-1)-16*0)
f''(x) = -10(1x°-0)
f''(x) = -10*1
f''(x) = -10

f''(x) = -10
x ≥ 0
f''(x) = -10, x ≥ 0

-10 < 0
x ≥ 0
-10 < 0, x ≥ 0

f''(x) = -10, x ≥ 0
-10 < 0, x ≥ 0
f''(x) < 0, x ≥ 0

f'(16) = 0
f''(x) < 0, x ≥ 0
x = 16
16 > 0
x = 16 lokalt maximum

x ≠ 16, x ≥ 0
f'(x) ≠ 0, x ≥ 0
Inga övriga lokala maxima, x ≥ 0

f''(x) < 0, x ≥ 0
x = 16 lokalt maximum
Inga övriga lokala maxima, x ≥ 0
f(16) maximalt funktionsvärde, x ≥ 0

f(x) = -5(x-5)(x-27)
x = 16
f(16) = -5(16-5)(16-27)
f(16) = -5*11*(-11)
f(16) = -5*(-11)*11
f(16) = 5*11*11
f(16) = 605

f(16) maximalt funktionsvärde, x ≥ 0
f(16) = 605
605 maximalt funktionsvärde, x ≥ 0

Optimalt pris per såld korv: 16
Maximal förtjänst per dag: 605